VaR Modificado (Cornish-Fisher): Por Que o VaR Normal Mente Sobre o Tombo

Atualizado em 02/08/2026

VaR modificado é o nome estatístico de uma desconfiança que eu adquiri no extrato: a fórmula padrão de risco, a que assume retornos em formato de sino, promete uma perda máxima que o mercado rompe com frequência incômoda. A expansão de Cornish-Fisher conserta o cálculo ajustando o ponto de corte pela assimetria (skew) e pela curtose (cauda gorda) reais da distribuição, sem precisar de simulação. Neste texto eu explico por que a versão gaussiana mente sobre o pior caso, mostro a cauda gorda que eu medi nos meus próprios robôs, e conto como eu dimensiono risco de verdade sabendo que a parte da distribuição que menos se estima bem é justamente a que mais importa. A mecânica de como a volatilidade come retorno composto está em variance drag, o imposto da volatilidade, o problema de modelar a variância que muda de regime está em modelos GARCH de volatilidade, e a defesa que eu de fato uso contra o crash está narrada em hedging de cauda para o trader pequeno.

O que a pesquisa mostra: Favre e Galeano (2002), no paper que popularizou o VaR modificado em finanças, mostraram que substituir o quantil gaussiano pela expansão de Cornish-Fisher, alimentada com a assimetria e a curtose dos retornos, produz uma medida de risco muito mais fiel para ativos com distribuição não-normal, como fundos de hedge. A régua do sino, aplicada a esses ativos, subestima a perda de cauda de forma consistente (Journal of Alternative Investments, 5(2):21-25).

Por que o VaR normal mente sobre o tombo

O Value-at-Risk responde a uma pergunta simples: com 95% ou 99% de confiança, quanto eu posso perder num dia? A versão mais comum calcula isso pela média e pelo desvio-padrão dos retornos e lê o ponto de corte numa curva normal. Para 95%, esse ponto fica a cerca de 1,65 desvio abaixo da média; para 99%, a cerca de 2,33. Multiplica pelo desvio-padrão, e está dado o número.

O problema mora na suposição escondida. A curva normal tem cauda fina: eventos a três, quatro ou cinco desvios são tão raros que, para efeitos práticos, não acontecem. O mercado não obedece a isso. Os retornos reais têm curtose alta (cauda gorda, os extremos aparecem muito mais do que o sino prevê) e costumam ter assimetria negativa (skew, as quedas violentas são mais frequentes e mais fundas do que as altas). O S&P 500, num histórico de três décadas, mostra curtose em excesso perto de 11 e assimetria negativa, o que significa dias de queda que uma normal classificaria como impossíveis e que na prática se repetem a cada poucos anos.

A consequência é que o VaR gaussiano entrega um número confortável e falso. Ele diz que no pior 1% dos dias você perde x, quando a distribuição real, com a cauda gorda incluída, perde bem mais do que x naquele mesmo 1%. Quem dimensiona posição, stop ou alavancagem por esse número está calibrando a defesa para um mundo mais manso do que o que existe. É um erro de subestimação, e ele aparece exatamente no dia em que doer.

O que a expansão de Cornish-Fisher corrige

A ideia de Edgeworth Cornish e Ronald Fisher, publicada em 1938, é mais elegante do que parece. Em vez de assumir que o ponto de corte da distribuição está onde o sino diz, você desloca esse ponto usando os momentos superiores da distribuição real. O quantil gaussiano (o 1,65 ou o 2,33) vira um quantil ajustado, que se afasta mais da média quando a assimetria é negativa e quando a cauda é gorda.

Em palavras, o quantil corrigido é o quantil normal mais um termo que puxa o corte pela assimetria, mais um termo que o puxa pela curtose em excesso, menos um termo de segunda ordem que segura o exagero. Com a notação usual, se z é o quantil normal, S a assimetria e K a curtose em excesso:

Com esse z* no lugar do z, o VaR modificado é a mesma conta de sempre, média menos o produto do desvio pelo quantil, só que agora o quantil sabe que a distribuição é torta e de cauda gorda. Quando a assimetria e a curtose são zero, o ajuste desaparece e você recupera o VaR normal. Quando não são, o número afunda em direção à perda que a distribuição real produz. Favre e Galeano trouxeram essa correção para dentro da otimização de carteira de fundos de hedge em 2002, e desde então ela virou o jeito padrão de medir risco de cauda sem rodar simulação nenhuma.

Vale a honestidade que o próprio método exige: a expansão de Cornish-Fisher é uma aproximação, e ela se comporta bem quando a assimetria e a curtose são moderadas. Em distribuições monstruosamente tortas, como as de criptoativos, o ajuste clássico chega a superestimar o corte no 99,9%, e existem versões corrigidas que consertam esse comportamento. Para o meu caso, um livro de robôs de câmbio, a aproximação está na faixa em que ela é útil. O ponto que interessa não muda: qualquer ajuste que respeite a cauda gorda é mais fiel do que a normal, que ignora a cauda por construção.

A cauda gorda que eu medi nos meus robôs

Eu não preciso acreditar em Cornish-Fisher por fé. Eu medi a cauda do meu próprio livro, e ela é tudo menos normal.

Comecei pela concentração. Peguei os retornos diários da carteira e separei os 5% piores dias, que dão 32 dias. Esses 32 dias sozinhos concentraram 354% do rebaixamento total. O número passa de 100% porque, fora da cauda, o livro ganha dinheiro (os dias normais somam positivo e cobrem parte do estrago), então a sangria real vem inteira de um punhado de dias e é mais que compensada para baixo pela concentração. Numa distribuição normal isso é impossível: os dias ruins seriam suaves e distribuídos, e nenhum grupo de 5% carregaria o resultado inteiro nas costas. O meu carrega. Isso é a assinatura de uma distribuição de cauda gorda com assimetria negativa, a mesma que o VaR modificado existe para descrever.

O Sharpe conta a mesma história por outro ângulo. No recorte diário, os dias normais rodam com Sharpe de +0,42 e os dias de cauda despencam para −2,46. O número do dia a dia é verdadeiro para o mundo sem estresse e some quando a sobrevivência está em jogo, porque o risco não mora na média, mora nos poucos dias que a média esconde. Aqui cabe um aviso contra mim mesmo: quando anualizei esse Sharpe de cauda multiplicando por raiz de 252, o número saltou para algo perto de −39, quase dezesseis vezes mais dramático, só por espremer uma janela de 32 dias numa escala anual. É o mesmo tipo de maquiagem estatística que este artigo denuncia, e por isso fico no número diário honesto. Quem lê só o Sharpe cheio está lendo a parte mansa da distribuição e ignorando a cauda que decide se a conta sobrevive.

E os episódios individuais confirmam que a cauda não é um evento, é uma característica. O pior dia isolado do período tirou −$741, em 21 de abril de 2025, e não veio atrás de manchete nenhuma: nenhum crash, nenhum banco central, nenhum choque que o noticiário tenha marcado. Só dois dos 32 dias-cauda caem no famoso unwind do iene de agosto de 2024, quando o carry trade se desmontou e o meu USDJPY entregou −$683 numa perna e o livro fechou o episódio em −$546. Ou seja, mesmo o evento que todo mundo lembra responde por uma fração pequena da minha cauda. A perda extrema é crônica, chega sem aviso, e uma régua que só a espera em datas de manchete erra o alvo.

O golpe final na régua gaussiana foi comparar backtest com realidade. O meu rebaixamento real no período forward saiu em torno de 1,75 vez o rebaixamento que o backtest previa, só pelo viés de seleção da forma como montei a carteira. Quem dimensiona capital pelo drawdown do backtest, lido com a suposição implícita de normalidade, está sub-almofadado por uma folga inteira. A cauda real é mais gorda e mais funda do que o teste in-sample deixa ver, e eu só descobri o tamanho da folga medindo os dois lados.

Como eu dimensiono risco sabendo que a cauda é gorda

Aqui vem a parte que separa o explicador de fórmula da prática. Se a cauda é gorda e o VaR modificado a descreve melhor, o passo óbvio seria estimar um mVaR ao vivo e usar esse número para dar o lote de cada dia. Eu não faço isso, e a razão é a mesma estatística que sustenta o método.

A assimetria e a curtose são os momentos que menos se estimam bem. A média já é ruidosa; o desvio-padrão, um pouco menos; mas o terceiro e o quarto momentos, que são exatamente os que o VaR modificado usa, dependem dos poucos eventos extremos que a amostra quase não tem. Estimar a curtose de um livro que teve 32 dias-cauda é estimar um número que depende de meia dúzia de observações. Colocar esse número instável no volante do lote, todo dia, é dar a decisão mais importante para a estatística mais barulhenta que eu tenho. O VaR modificado é ótimo para explicar por que a régua gaussiana subestima; é frágil para pilotar o tamanho da posição em tempo real.

Então a minha defesa é construída para não depender de estimar a cauda. Ela tem três camadas. Primeiro, lote fixo pequeno, igual para todos os robôs, sem dimensionar posição por nenhuma estimativa de risco ao vivo. Segundo, um teto de perda pré-definido em dólar, um disjuntor que corta o robô ou o livro quando o rebaixamento cruza um limite calibrado por simulação, sem previsão de regime e sem apelação. Terceiro, uma folga explícita no capital, dimensionada para aguentar aquele 1,75 vez que eu medi entre backtest e forward, em vez de confiar no drawdown do teste. Nenhuma das três precisa que eu adivinhe a curtose de amanhã.

É uma escolha deliberada, e o VaR modificado é a justificativa estatística dela. A cauda gorda é real, a normal a subestima, e a correção que a descreve depende de momentos que ninguém estima com confiança em tempo real. Diante disso, a defesa robusta é a que assume que a cauda é pior do que qualquer estimativa e coloca um número em dólar acima do qual a perda simplesmente não passa. Eu prefiro um limite que eu escolhi e obedeço a um limite que um modelo instável me sugere e que eu descubro estar errado no pior dia possível.

Para que o VaR modificado serve e para que não serve

O VaR modificado é uma ferramenta de leitura, não de piloto automático. Ele serve para você olhar um histórico de retornos e enxergar quanto a cauda gorda muda o pior caso em relação à conta gaussiana, para comparar duas estratégias pela cauda e não só pela média, e para justificar por que a folga de capital precisa ser maior do que o backtest sugere. É honesto e barato de calcular a partir de dados que você já tem.

Ele não serve para prometer o pior caso do amanhã com precisão, porque os momentos que o alimentam são ruidosos e porque a própria expansão é uma aproximação que se degrada nas caudas mais extremas. Usar o número como se fosse uma garantia é repetir, com mais decimais, o mesmo excesso de confiança que a normal já produz. A lição do meu extrato é que a cauda merece respeito, e respeito, na prática, vira uma regra de corte em dólar e uma folga de capital, não uma estimativa mais sofisticada de um limite que o mercado vai romper de qualquer jeito no dia em que ninguém esperava.

Os números deste artigo

O que é VaR modificado (Cornish-Fisher) em uma frase?

É o Value-at-Risk calculado com o ponto de corte ajustado pela assimetria e pela curtose reais dos retornos, via expansão de Cornish-Fisher, em vez do quantil da curva normal. Ele corrige a subestimação sistemática do VaR gaussiano quando a distribuição tem cauda gorda, sem precisar de simulação.

Por que o VaR gaussiano subestima a perda?

Porque a curva normal tem cauda fina, e os retornos de mercado têm cauda gorda e assimetria negativa. Eventos extremos que a normal trata como quase impossíveis acontecem com frequência real. No meu livro, os 5% piores dias concentraram 354% do rebaixamento, um padrão que uma distribuição normal não produz. O VaR gaussiano lê esse pior caso como mais brando do que ele é.

Dá para usar o VaR modificado para dimensionar o lote ao vivo?

Eu não uso, por escolha. A assimetria e a curtose são os momentos mais difíceis de estimar, porque dependem de poucos eventos extremos, e colocar um número instável no volante do tamanho da posição é frágil. Prefiro lote fixo pequeno, um teto de perda pré-definido em dólar e uma folga de capital dimensionada pelo que medi entre backtest e forward. O VaR modificado explica por que a defesa precisa existir; ele não pilota o lote.

Quanto maior foi o meu drawdown real em relação ao backtest?

Cerca de 1,75 vez, só pelo viés de seleção da montagem da carteira. Quem dimensiona capital pelo drawdown do backtest, com a suposição implícita de normalidade, fica sub-almofadado por uma folga inteira. Foi medindo os dois lados que descobri o tamanho da folga que a defesa precisa carregar.

Referências

• Cornish, E. A.; Fisher, R. A. (1938). Moments and Cumulants in the Specification of Distributions. Revue de l’Institut International de Statistique, 5(4), 307-320.
• Favre, L.; Galeano, J.-A. (2002). Mean-Modified Value-at-Risk Optimization with Hedge Funds. The Journal of Alternative Investments, 5(2), 21-25. jai.pm-research.com.
• Boudt, K.; Peterson, B.; Croux, C. (2008). Estimation and Decomposition of Downside Risk for Portfolios with Non-Normal Returns. The Journal of Risk, 11(2), 79-103. ssrn.com.