Quando se compara dois robôs pelo pior dia, geralmente se escolhe o número errado. O MDD é uma fotografia do instante mais doloroso, mas dois sistemas com o mesmo MDD de −20% podem ter experiências radicalmente diferentes: um se recupera em três semanas, o outro fica dois anos no vermelho. O Ulcer Performance Index resolve isso medindo o que importa para quem vive a curva — a integral da dor. Antes de seguir, vale alinhar com o que escrevemos sobre tempo em drawdown, limite de drawdown diário e risco de ruína.
O que o MDD esconde
O Maximum Drawdown reporta um único ponto — a maior queda do topo ao fundo — e nada mais. Ele não diz quantas vezes a curva mergulhou, nem por quanto tempo ficou afundada. Basilico (2023), resenhando o trabalho de Rook, Golosovker e Monk, defende que tratar drawdown e recuperação separadamente distorce a leitura de risco: os dois “se definem mutuamente”. Os autores cunham o termo submergence (submersão) para o evento conjunto — a queda mais a recuperação subsequente — e mostram que ele tem várias dimensões: profundidade, duração, inclinação e frequência.
O dado que cala fundo: desde 1980, ações e bonds ficaram submersos cerca de 75% do tempo, e Treasuries ~80% (Rook, Golosovker & Monk, 2023). Ou seja, estar abaixo do topo anterior não é exceção — é o estado normal. Um MDD de −20% pode ser o mesmo número para uma queda relâmpago que recupera em um mês e para um afogamento lento de dois anos. Para quem precisa aguentar o sistema operando, a segunda situação é incomparavelmente pior — e o MDD não enxerga a diferença.
O Ulcer Index em texto simples
O Ulcer Index (UI) foi criado por Peter Martin em 1989 (no livro The Investor’s Guide to Fidelity Funds, com Byron McCann) justamente para medir a “úlcera” — o estresse acumulado de ficar debaixo d’água. A fórmula, em palavras: para cada período, calcule o drawdown percentual em relação ao pico máximo já atingido; eleve cada um ao quadrado; tire a média desses quadrados ao longo de toda a série; e por fim a raiz quadrada dessa média.
Em notação simples: UI = raiz( média( D² ) ), onde D é o drawdown percentual de cada período (zero quando a curva está em novo topo). É, na essência, o desvio-padrão dos drawdowns — só que medido em relação ao pico, não à média. Duas propriedades importantes saem disso:
- O quadrado penaliza quedas grandes desproporcionalmente — um drawdown de −20% pesa quatro vezes mais que um de −10%, não o dobro.
- A média ao longo do tempo faz o tempo submerso entrar na conta — ficar −5% por 200 dias machuca mais o índice do que ficar −5% por 5 dias.
É exatamente por isso que o UI captura submergence = profundidade × tempo debaixo d’água num único número, enquanto o MDD só registra o ponto mais fundo.
UPI: o “Sharpe do drawdown”
O Ulcer Performance Index (UPI), também chamado de Martin Ratio, transforma o UI numa métrica de retorno ajustado ao risco. A definição: UPI = (retorno do período − retorno livre de risco) / Ulcer Index. É a mesma estrutura do índice de Sharpe — retorno excedente sobre uma medida de risco — mas trocando o desvio-padrão dos retornos pelo Ulcer Index.
A diferença filosófica é grande. O Sharpe pune toda volatilidade, inclusive a volatilidade para cima (que o trader adora). O UPI pune só o que dói: estar abaixo do topo, com peso maior para quedas fundas e prolongadas. Quanto maior o UPI, melhor — mais retorno por unidade de “úlcera”. Para quem opera robôs e precisa não desligar o sistema no fundo do poço, é uma régua mais honesta com a experiência real do que o Sharpe ou o retorno/MDD (Calmar).
Vale contrastar as três réguas mais comuns lado a lado. O Sharpe divide o retorno excedente pelo desvio-padrão dos retornos — mede oscilação, não dor. O Calmar divide o retorno pelo MDD — usa um único ponto no denominador e, como o MDD, é cego ao tempo submerso. O UPI divide o retorno excedente pelo Ulcer Index — o único dos três cujo denominador integra profundidade e duração. Em sistemas que recuperam rápido, UPI e Calmar concordam; é nos sistemas de afogamento lento (mesmo MDD, recuperação arrastada) que o UPI separa o que o Calmar funde. É por isso que ele costuma ser a régua preferida de quem precisa conviver com a curva mês após mês, e não só olhar o resultado final.
Como usar o UPI para ranquear robôs
O UPI brilha na comparação entre estratégias com perfis de drawdown diferentes. Dois robôs com o mesmo retorno anual e o mesmo MDD podem ter UPIs bem distintos — e o de UPI maior é o que passou menos tempo, ou menos fundo, submerso. Um roteiro prático:
- Construa a curva de equity de cada robô na mesma janela e na mesma frequência (diária, por exemplo) — comparar períodos diferentes é comparar coisas diferentes.
- Calcule o drawdown percentual ponto a ponto contra o pico corrente (running high).
- Eleve ao quadrado, tire a média e a raiz — esse é o Ulcer Index.
- Divida o retorno excedente pelo UI — esse é o UPI.
- Ordene do maior para o menor. O topo do ranking sofre menos por unidade de retorno.
O UPI não substitui o controle de cauda nem o disjuntor de drawdown — ele é uma régua de seleção e ranqueamento, não um gatilho de saída. Combinado com a leitura de tempo em drawdown, ele evita o erro clássico de escolher o robô pelo retorno bruto e descobrir, vivendo, que a curva fica afogada metade do tempo. Na montagem de um portfólio, ranquear por UPI tende a favorecer sistemas com recuperação rápida — exatamente os que o operador consegue manter ligados.
Limites e cuidados
O UPI tem armadilhas que o usuário precisa conhecer. Primeiro, ele é sensível à frequência e à janela: calcular em barras diárias versus mensais muda o número, e janelas curtas com poucos drawdowns o tornam instável. Segundo, como toda métrica baseada em backtest, ele herda os riscos de ruína e de overfitting — um UPI lindo no histórico não garante drawdowns rasos no futuro. Terceiro, a própria pesquisa de Rook, Golosovker e Monk (2023) aponta uma correlação positiva entre tamanho e duração da submersão: drawdowns maiores tendem a durar mais, então as duas dimensões não são independentes — o UI as combina, mas não as desentrelaça. Use o UPI como um dos eixos de decisão, nunca como o único número.
Perguntas Frequentes
Qual a diferença entre UPI e índice de Sharpe?
O UPI usa o Ulcer Index no denominador (que pune só drawdowns — profundidade e tempo submerso), enquanto o Sharpe usa o desvio-padrão dos retornos (que pune toda volatilidade, inclusive a de alta). Para quem se importa com a dor de ficar no vermelho e não com oscilação para cima, o UPI é mais alinhado à experiência real do trader.
O que o Ulcer Index mede que o Maximum Drawdown não mede?
O Ulcer Index mede a submersão — profundidade combinada com tempo debaixo d’água — enquanto o MDD registra apenas o ponto único mais profundo. Dois sistemas com MDD idêntico de −20% podem ter Ulcer Index muito diferentes se um recupera rápido e o outro fica afundado por meses.
Como interpretar um UPI alto?
Um UPI alto indica mais retorno excedente por unidade de “úlcera” — ou seja, o sistema entregou ganho sofrendo pouco em drawdown, seja por quedas rasas, seja por recuperações rápidas. Quanto maior, melhor; sempre compare robôs na mesma janela e frequência.
O UPI serve como gatilho de saída de um robô?
Não diretamente — o UPI é uma métrica de ranqueamento e seleção, calculada sobre todo o histórico, não um sinal em tempo real. Para parar um robô em drawdown, use um disjuntor explícito (limite de drawdown diário ou submergence-based exit), e reserve o UPI para decidir qual robô colocar no ar.
Referências
- Martin, P.; McCann, B. (1989). The Investor’s Guide to Fidelity Funds. John Wiley & Sons. (Origem do Ulcer Index e do Ulcer Performance Index / Martin Ratio.)
- Rook, C.; Golosovker, M.; Monk, A. (2023). Submergence: Drawdowns, Recoveries, and a New Risk Metric. Stanford Long-Term Investing, working paper. SSRN 4346463.
- Basilico, E. (2023). Submergence: A Tool to Assess Drawdowns and Recoveries. Alpha Architect, Academic Research Insight.
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