VaR Modificado (Cornish-Fisher): Ajustando o Risco para Caudas Gordas

O VaR Gaussiano é o ponto de partida de quase todo painel de risco, mas ele assume que os retornos são uma sino perfeita — e os retornos de robôs e de ativos reais não são. Este artigo mostra como o VaR Modificado (mVaR) corrige isso para caudas gordas, onde ele quebra e como usá-lo para dimensionar risco. Se você ainda não fez a leitura básica de cauda, veja hedging de cauda, stress testing e teste Monte Carlo. Para uso prático no sizing, conecte com limite de drawdown diário e risco de ruína.

Por que o VaR Gaussiano subestima o risco

O VaR Gaussiano usa só dois números — média e desvio-padrão — e finge que tudo o que está nas caudas se comporta como uma distribuição normal. A fórmula é simples, em texto: GVaR = −μ − σ · z, onde z é o quantil da normal padrão (por exemplo, ≈ 1,645 para 95% e ≈ 2,326 para 99%). O problema é empírico: retornos financeiros têm assimetria (skew) e caudas gordas (curtose em excesso). O Portfolio Optimizer documenta, para o SPY no período 01/02/1993 a 04/04/2023, skew amostral ≈ −0,287 e curtose em excesso ≈ 10,9 — uma cauda esquerda muito mais pesada do que a normal admite. Em ativos extremos é pior: o Bitcoin (20/08/2011 a 06/04/2023) tem skew ≈ −1,37 e curtose em excesso ≈ 24,6.

O efeito prático é que o VaR Gaussiano de 99% fica “curto demais”: a perda que ele declara como rara de 1% acontece com frequência bem maior. Para quem dimensiona robôs, isso significa um piso de risco otimista — o disjuntor dispara tarde.

O que a expansão de Cornish-Fisher faz

A expansão de Cornish-Fisher (Cornish & Fisher, 1938) ajusta o quantil da normal para incorporar skew e curtose, sem precisar de simulação. Zangari (1996) aplicou isso ao VaR, criando o VaR Modificado (mVaR), também chamado de Cornish-Fisher VaR. A ideia é trocar o z da fórmula Gaussiana por um z ajustado que empurra o quantil mais para a esquerda quando há skew negativa e cauda gorda.

Em texto simples, o quantil modificado é:

z* = z + (z² − 1)·κ/6 + (z³ − 3z)·γ/24 − (2z³ − 5z)·κ²/36

onde κ é a assimetria (skew) e γ é a curtose em excesso. O VaR modificado é então mVaR = −μ − σ · z*. Quando κ e γ são zero, z* volta a ser z e o mVaR colapsa no VaR Gaussiano — ou seja, o mVaR é uma generalização que só adiciona penalidade quando há não-normalidade. A grande vantagem operacional é que tudo isso é paramétrico e fechado: quatro momentos amostrais (média, desvio, skew, curtose) entram na fórmula e o número sai na hora, sem rodar milhares de cenários como no Monte Carlo. Por isso o mVaR foi amplamente adotado — inclusive por reguladores europeus, que exigem mVaR no cálculo do indicador de risco de produtos PRIIP desde janeiro de 2023 (Portfolio Optimizer).

Onde o mVaR clássico quebra

O mVaR clássico só é confiável para distribuições próximas da normal e para probabilidades de cauda não muito pequenas. Maillard (no guia de uso da expansão Cornish-Fisher) mostra a raiz matemática: a expansão só gera uma função de quantil bem-comportada dentro de um domínio de validade estreito. A restrição de skew é |κ| ≤ 6·(√2 − 1) ≈ 2,49, e a curtose também é limitada por uma desigualdade que envolve κ e γ. Fora desse domínio aparecem absurdos: quantis não-monotônicos — situações em que o mVaR de 95% pode ficar maior que o mVaR de 99% (Portfolio Optimizer), o que não faz sentido como medida de risco.

Há um segundo problema, mais sutil e mais grave. Maillard observa que os parâmetros κ e γ que você joga na fórmula não são iguais aos momentos reais da distribuição que a fórmula produz. No exemplo do SPY, ao usar a skew amostral −0,287 e a curtose 10,9 como parâmetros, a distribuição Cornish-Fisher resultante tem na verdade curtose real ≈ 62,4 — quase seis vezes maior do que se pediu. Ou seja: você acha que modelou cauda 10,9 e modelou uma cauda 62. Não dá para esperar boa precisão de uma distribuição “errada”.

A versão corrigida (corrected Cornish-Fisher)

A versão corrected resolve o descasamento invertendo a relação entre parâmetros e momentos reais. Em vez de plugar a skew e a curtose amostrais direto como parâmetros, calculam-se os parâmetros κ e γ que fazem a distribuição Cornish-Fisher ter exatamente os momentos amostrais desejados (Lamb, Monville & Tee, 2019; Amedee-Manesme, Barthelemy & Maillard, 2019). No exemplo do SPY, os parâmetros corrigidos viram κ ≈ −0,152 e γ ≈ 3,56, e o ajuste à distribuição empírica passa a ser quase perfeito. Quando o caso fica fora do domínio, aplica-se ainda um increasing rearrangement (Chernozhukov, Fernández-Val & Galichon, 2010) para forçar a monotonicidade.

O resultado medido no Bitcoin é eloquente. Comparando o VaR empírico com o corrected Cornish-Fisher VaR (cCFVaR), o ajuste é bom até cerca de 95%, mas a partir daí a cauda extrema escapa:

• 95%: empírico 6,90% vs. corrigido 6,86% (quase igual)
• 99%: empírico 13,36% vs. corrigido 16,51%
• 99,9%: empírico 27,04% vs. corrigido 35,08%

A lição honesta: a versão corrigida torna o mVaR utilizável para distribuições moderada a fortemente não-normais — mas para probabilidades de cauda muito pequenas, nenhuma versão paramétrica substitui medir a cauda diretamente. Como dizem Favre & Galeano sobre mVaR, o ganho é ajustar VaR a skew/curtose mantendo o cálculo fechado; o preço é o erro nos casos extremos.

Como usar o mVaR para dimensionar risco de robôs

O mVaR entra no painel como um VaR honesto sobre os 4 momentos da curva de retornos do robô. O passo a passo prático:

1. Estime os 4 momentos dos retornos por trade ou por dia do robô: média, desvio-padrão, skew e curtose em excesso. Use janela longa o bastante para a cauda não ser puro ruído.
2. Cheque o domínio de validade antes de confiar: se |skew| > ~2,5 ou a curtose for muito alta, o mVaR clássico está fora da faixa — use a versão corrigida ou caia para VaR empírico/Monte Carlo.
3. Calcule mVaR a 95% e 99% e compare com o VaR Gaussiano. A diferença é o tamanho do seu autoengano se usasse só a normal.
4. Use o mVaR como piso do disjuntor, não como teto. Cruze com o seu limite de drawdown diário e com o risco de ruína.
5. Nunca confie num número só. A síntese de gestão de risco recomenda combinar VaR/CVaR Cornish-Fisher com cenários históricos e stress testing e perturbação de correlação — o mVaR é rápido, mas é uma estimativa, não a verdade.

Para a cauda mesmo — o evento de 1 em 1000 — o mVaR aponta a direção, mas a proteção vem de hedge de cauda explícito e de limites duros, não de uma fórmula paramétrica.

Qual a diferença entre VaR Gaussiano e VaR Modificado?

O VaR Gaussiano usa apenas média e desvio-padrão e assume distribuição normal, enquanto o VaR Modificado (Cornish-Fisher) adiciona assimetria e curtose ao cálculo do quantil. Em retornos com cauda gorda, como o SPY (curtose em excesso ≈ 10,9, 1993–2023), o Gaussiano subestima a perda de cauda; o modificado empurra o VaR mais para a esquerda. Quando skew e curtose são zero, os dois coincidem.

O VaR Modificado precisa de Monte Carlo?

Não — essa é a principal vantagem do mVaR. Ele é paramétrico e fechado: bastam os quatro momentos amostrais (média, desvio, skew, curtose) e o número sai por uma fórmula direta, sem simular cenários. Isso o torna rápido e fácil de auditar, ao custo de ser uma aproximação que degrada longe da normal.

Quando o VaR Modificado não é confiável?

O mVaR clássico só funciona bem perto da normal e para probabilidades de cauda não muito pequenas. Maillard mostra que ele exige |skew| ≤ ~2,49 e curtose dentro de um domínio estreito; fora dele os quantis ficam não-monotônicos (o mVaR de 95% pode passar o de 99%). Para casos não-normais, use a versão corrected de Maillard/Lamb et al.; para a cauda extrema (99,9%), nenhuma versão paramétrica substitui medir a cauda.

A versão corrigida resolve tudo?

A versão corrigida (corrected Cornish-Fisher) amplia muito a faixa útil, mas não é mágica. No Bitcoin, ela acerta o VaR a 95% (6,86% vs. 6,90% empírico), mas superestima a 99,9% (35,08% vs. 27,04% empírico). Ela é a melhor escolha paramétrica para distribuições bem não-normais; ainda assim, combine com stress testing e VaR empírico na cauda profunda.

Referências

• Portfolio Optimizer (Rübsamen, R.). Corrected Cornish-Fisher Expansion: Improving the Accuracy of Modified Value-at-Risk. portfoliooptimizer.io (skew/curtose SPY ≈ −0,287 / 10,9; Bitcoin ≈ −1,37 / 24,6; tabela EVaR vs. cCFVaR).
• Cornish, E. A.; Fisher, R. A. (1938). Moments and cumulants in the specification of distributions.
• Zangari, P. (1996). A VaR methodology for portfolios that include options. RiskMetrics Monitor, 1Q, 4–12 (introduz o mVaR).
• Maillard, D. A User’s Guide to the Cornish-Fisher Expansion. SSRN (domínio de validade; descasamento de momentos).
• Lamb, J. D.; Monville, M. E.; Tee, K-H. (2019). Making Cornish-Fisher Fit for Risk Measurement. Journal of Risk, 21(5), 53–81.
• Amedee-Manesme, C-O.; Barthelemy, F.; Maillard, D. (2019). Computation of the corrected Cornish-Fisher expansion… application to VaR and CVaR. Annals of Operations Research, 281, 423–453.
• Boudt, K.; Peterson, B. G.; Croux, C. (2008). Estimation and Decomposition of Downside Risk for Portfolios with Non-Normal Returns. Journal of Risk, 11(2), 79–103 (fórmula do mVaR; cf. Favre & Galeano sobre mVaR).